Question

已知拋物線及點，直線的斜率為1且不過點P，與拋物線交于A,B兩點。
（1） 求直線在軸上截距的取值范圍；
（2） 若AP,BP分別與拋物線交于另一點C,D,證明：AD、BC交于定點。

Answer 1

（1）；（2）設A,B兩點的坐標分別為，直線AD的方程為，當時，
即直線AD與軸的交點為，同理可得BC與軸的交點也為
所以AD、BC交于定點  .

試題分析：（1） 設直線的方程為，由于直線不過點P，因此
由 得
由 解得
所以直線在軸上截距的取值范圍是。           
（2） 證明：設A,B兩點的坐標分別為
因為AB的斜率為1，所以
設點D坐標為,因為B,P,D共線，所以
得
直線AD的方程為
當時，
即直線AD與軸的交點為
同理可得BC與軸的交點也為
所以AD、BC交于定點  .
點評：直線與圓錐曲線綜合應用的有關問題，其特點是計算量特別大，且較為復雜。因此，我們在計算的時候一定要仔細、認真，要做到會的得滿分，不會的盡量多得步驟分。