Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）求函數(shù)在的最小值；

（2）若函數(shù)與的圖象恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（3）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由，得極值點(diǎn)為，分情況討論及時(shí)，函數(shù)的最小值；（Ⅱ）當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，即有兩個(gè)不同的實(shí)根，問題等價(jià)于直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由單調(diào)性結(jié)合函數(shù)圖象可知當(dāng)時(shí)， 存在，且的值隨著的增大而增大，而當(dāng)時(shí)，由題意， 代入上述方程可得，此時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍為.

試題解析：（Ⅰ）由，可得，

①時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

函數(shù)在上的最小值為，

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，

，

；

（Ⅱ），則

題意即為有兩個(gè)不同的實(shí)根，

即有兩個(gè)不同的實(shí)根，

等價(jià)于直線與函數(shù)的圖像有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

畫出函數(shù)圖像的大致形狀（如右圖），

由圖像知，當(dāng)時(shí)， 存在，且的值隨著的增大

而增大，而當(dāng)時(shí)，由題意，

兩式相減可得

代入上述方程可得，

此時(shí)，

所以，實(shí)數(shù)的取值范圍為；