Question

【題目】已知中心在坐標原點，焦點在軸上的橢圓，離心率為且過點，過定點的動直線與該橢圓相交于、兩點.

（1）若線段中點的橫坐標是，求直線的方程；

（2）在軸上是否存在點，使為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：（1）橢圓的離心率公式，及的關系，求得，得到橢圓的方程；設出直線的方程，將直線方程代入橢圓，用舍而不求和韋達定理方法表示出中點坐標，此時代入已知中點的橫坐標，即可求出直線的方程；（2）假設存在點，使為常數，分別分當與軸不垂直時以及當直線與軸垂直時，求出點的坐標，最后綜合兩種情況得出結論．

試題解析：（1）易求橢圓的方程為，

直線斜率不存在時顯然不成立，設直線，

將代入橢圓的方程，

消去整理得，

設，則，

因為線段的中點的橫坐標為，解得，

所以直線的方程為．

（2）假設在軸上存在點，使得為常數，

①當直線與軸不垂直時，由（1）知，

所以

，

因為是與無關的常數，從而有，

此時

②當直線與軸垂直時，此時結論成立，

綜上可知，在軸上存在定點，使，為常數