Question

【題目】已知直線過點，圓:.

（1）求截得圓弦長最長時的直線方程；

（2）若直線被圓N所截得的弦長為，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）　；（2）或.

【解析】試題分析：（1）把圓N的方程化為標準方程，找出圓心的坐標，根據題意可知直線過圓心時截得的弦最長，故由及的坐標確定出直線的方程即可；（2）設直線與圓交于和兩點的坐標，過圓心作垂直于，根據垂徑定理得到為的中點，從而得到，接下來分兩種情況考慮：第一，直線的斜率不存在時，可得直線的方程為，把代入圓的方程中，得到關于的一元二次方程，求出方程的解得到的值，經過檢驗得到時，弦的長為，符合題意；第二，當直線的斜率存在時，設出直線的斜率為，由的坐標和設出的斜率寫出直線的方程，在直角三角形中，由的長及半徑的長，利用勾股定理求出的長，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線的距離，令等于求出的的長列出關于的方程，求出方程的解得到的值，確定出直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程.

試題解析：（1）顯然，當直線通過圓心Ｎ時，被截得的弦長最長，由，得　 故所求直線的方程為，即.

（2）設直線與圓N交于兩點（如圖），作交直線于點Ｄ，顯然Ｄ為AB的中點，且有

（Ⅰ）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，將代入，得，解得，

因此符合題意

（Ⅱ）若直線的斜率存在，不妨設直線的方程為　　即： ，由，得， ，因此，又因為點Ｎ到直線的距離

所以，即： ，此時直線的方程為，綜上可知，直線的方程為或.