Question

【題目】已知函數（為自然對數的底數，為常數，并且）.

（1）判斷函數在區間內是否存在極值點，并說明理由；

（2）若當時，恒成立，求整數的最小值.

Answer 1

【答案】（1）無極值點；（2）0.

【解析】

（1）由題意結合導函數的符號考查函數是否存在極值點即可；

（2）由題意結合導函數研究函數的單調性，據此討論實數k的最小值即可．

（1），

令，則f'（x）＝exg（x），

恒成立，所以g（x）在（1，e）上單調遞減，

所以g（x）＜g（1）＝a﹣1≤0，所以f'（x）＝0在（1，e）內無解．

所以函數f（x）在區間（1，e）內無極值點．

（2）當a＝ln2時，f（x）＝ex（﹣x+lnx+ln2），定義域為（0，+∞），

，令，

由（Ⅰ）知，h（x）在（0，+∞）上單調遞減，又，h（1）＝ln2﹣1＜0，

所以存在，使得h（x1）＝0，且當x∈（0，x1）時，h（x）＞0，即f'（x）＞0，

當x∈（x1，+∞）時，h（x）＜0，即f'（x）＜0．

所以f（x）在（0，x1）上單調遞增，在（x1，+∞）上單調遞減，

所以．

由h（x1）＝0得，即，

所以，

令，則恒成立，

所以r（x）在上單調遞增，所以，所以f（x）max＜0，

又因為，

所以﹣1＜f（x）max＜0，所以若f（x）＜k（k∈Z）恒成立，則k的最小值為0．