Question

【題目】設函數.

（1）若在其定義域內為單調遞增函數，求實數的取值范圍；

（2）設，且，若在上至少存在一點，使得成立，求實數的取值范圍；

（3）求證：對任意的正整數，都有成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】

（1）函數的定義域為．

由知，

要使在其定義域內為單調遞增函數，只須，即在內恒成立．

于是，注意到，等號在時成立，即在時有最大值1．從而．

（2）解法一：注意到在上是減函數，所以，即．

當時，由，得，故，不合題意．

當時，由（1）知在上是增函數，．

又在上是減函數，所以原命題等價于，，由，解得．

綜上，的取值范圍是．

解法二：原命題等價于在上有解，設

．

因為，

故是增函數，所以，解得．

所以的取值范圍是．

（3）令，則由（1）知在內為單調減函數．

由于，故當時，有，即．

因此，，

即，故．

于是

．