Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為正方形，△ABE為直角三角形，∠BAE=90°，且AD⊥AE．
（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面BED；
（Ⅱ）若AB=2AE，求異面直線BE與AC所成角的余弦值．

Answer 1

考點：異面直線及其所成的角,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（Ⅰ）由已知條件推導出AE⊥DB，DB⊥AC，由此能證明DB⊥平面AEC，從而得到平面AEC⊥平面BED．
（Ⅱ）作DE的中點F，連接OF，AF，由已知條件推導出∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角．由此能求出異面直線BE與AC所成的角的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：由已知有AE⊥AB，又AE⊥AD，
所以AE⊥平面ABCD，所以AE⊥DB，…（3分）
又ABCD為正方形，所以DB⊥AC，…（4分）
所以DB⊥平面AEC，BD?面BED
故有平面AEC⊥平面BED．…（6分）
（Ⅱ）解：作DE的中點F，連接OF，AF，
∵O是DB的中點，
∴OF∥BE，∴∠FOA或其補角是異面直線BE與AC所成的角．…（8分）
設正方形ABCD的邊長為2a，
則AO=

2

a，…（9分）
∵∠BAE=90°，AB=2AE，
∴AE=a，EB=

5

a，∴OF=

5

2

a…（10分）
又AD⊥AE，∴AF=

1

2

ED=

5

2

a，∴cos∠FOA=

OF2+OA2-AF2

2OF•OA

=

10

5

∴異面直線BE與AC所成的角的余弦值為

10

5

…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查異面直線所成角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．