Question

已知、分別是直線和上的兩個動點，線段的長為，是的中點．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點任意作直線（與軸不垂直），設與（1）中軌跡交于兩點，與軸交于點．若，，證明：為定值．

Answer 1

（1）．   （2）．       

（1）本小題屬于相關點法求軌跡方程，設，然后再設出相關動點，,根據P是線段AB的中點，以及,可以消去，得到x,y的普通方程.
(2)設出直線的方程為,再設、、，然后直線方程與橢圓C的方程聯立，根據，可找到,,同理,則,然后再利用韋達定理證明
（1）設，，
∵是線段的中點，∴                        ………2分
∵分別是直線和上的點，∴和．
∴                              …………4分
又，∴．                 …………5分
∴，∴動點的軌跡的方程為．     …………8分
（2）依題意，直線的斜率存在，故可設直線的方程為．
設、、，
則兩點坐標滿足方程組
消去并整理，得，         …………10分
∴， ①   ．   ②           ………12分
∵，∴．
即∴．∵與軸不垂直，∴，
∴，同理．                          ………14分
∴．
將①②代入上式可得