Question

已知橢圓的中心在原點，一個焦點，且長軸長與短軸長的比是．若橢圓在第一象限的一點的橫坐標為1，過點作傾斜角互補的兩條不同的直線，分別交橢圓于另外兩點，.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：直線的斜率為定值；
（Ⅲ）求面積的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）設橢圓的方程為．

由題意 ………………………2分
解得 ，．所以橢圓的方程為．……………4分
（Ⅱ）由題意知，兩直線，的斜率必存在，設的斜率為，則的直線方程為.
由得
.………………6分
設，，則，同理可得，
則，.
所以直線的斜率為定值. ……………………8分
（Ⅲ）設的直線方程為.由得.
由，得.……………………10分
此時，.到的距離為，
則.
因為使判別式大于零，所以當且僅當時取等號，所以面積的最大值為．…12分

(1)由題目條件知，并且還知道, 從而解出a,b的值.
(2)先設直線PB的方程為， 它與橢圓方程聯立，消去y后得關于x的一元二次方程，根據1和點B的橫坐標為方程的兩個根，借助韋達定理，求出B的橫坐標，同時可求出A的橫坐標，從而求出,再借助其直接方程可求出,證明出為定值.
(III) 設的直線方程為, 它與橢圓方程聯立消y得關于x的一元二次方程,由弦長公式求出|AB|的長，然后再借助點到直線的距離公式求出高，從而用m表示出的面積.再利用函數的方法求最值即可
（Ⅰ）．（Ⅱ）為定值.（Ⅲ）面積的最大值為