Question

【題目】如圖，正三角形ABC的邊長為2，D、E、F分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點，∠EDF=90°，∠BDE=θ（0°＜θ＜90°）．
（1）當(dāng)tan∠DEF= 時，求θ的大小；
（2）求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時θ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在△BDE中，由正弦定理 = 得：DE= = ，

在△ADF中，由正弦定理 = 得：DF= = ，

∵tan∠DEF= ，

∴ = ，整理得：tanθ= ，

則θ=60°

（2）解：S= DEDF= = = = ，

當(dāng)θ=45°時，S取最小值 =

【解析】（1）在△BDE中，BD=1，B=60°，∠BED=120°﹣θ，利用正弦定理表示出DE，在△ADF中，利用正弦定理表示出DF，根據(jù)tan∠DEF的值，列表關(guān)系式，整理求出tanθ的值，即可確定出θ的大小；（2）根據(jù)兩直角邊乘積的一半表示出三角形DEF面積S，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后利用同角三角間基本關(guān)系變形，由正弦函數(shù)的值域即可確定出S的最小值以及使得S取最小值時θ的值．
【考點精析】認(rèn)真審題，首先需要了解正弦定理的定義(正弦定理:)，還要掌握余弦定理的定義(余弦定理:;;)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．