Question

【題目】已知橢圓的短軸長為，橢圓上任意一點到右焦點距 離的最大值為．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）過點作直線與曲線交于兩點，點滿足（為坐標原點），求四邊形面積的最大值，并求此時的直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）面積的最大值為2，,直線的方程為

【解析】試題分析：

(1)由幾何關系可得橢圓方程為；

(2)直線斜率不存在時不滿足題意，當直線斜率存在時，面積函數，注意等號成立的條件.

試題解析：

（Ⅰ）橢圓方程為

（Ⅱ）因為，所以四邊形OANB為平行四邊形，

當直線的斜率不存在時顯然不符合題意；

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，與橢圓交于兩點，由得

由，得

令，則（由上可知），

當且僅當即時取等號；

當平行四邊形OANB面積的最大值為

此時直線的方程為