Question

【題目】已知函數．

（1）求在上的最值；

（2）設，若當，且時，，求整數的最小值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】

（1）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最值即可；

（2）由，令，，已知可化為在恒成立，根據函數的單調性求出整數的最小值即可．

解：（1），，

①當時，因為，所以在上單調遞減，

所以，無最小值．

②當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

所以，無最大值．

③當時，因為，等號僅在，時成立，

所以在上單調遞增，所以，無最大值．

綜上，當時，，無最小值；當時，，無最大值；

當時，，無最大值．

（2），

當時，因為，由（1）知，所以（當時等號成立），所以．

當時，因為，所以，所以，

令，，已知化為在上恒成立，

因為，令，，則，

在上單調遞減，又因為，，

所以存在使得，

當時，，，在上單調遞增；

當時，，，在上單調遞減；

所以，

因為，所以，所以，

所以的最小整數值為．