Question

設函數f（x）=x²-2x+3，g（x）=x²-x，
（1）解不等式|f（x）-g（x）|≥2014；
（2）若|f（x）-a|＜2恒成立的充分條件是1≤x≤2，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得得|x-3|≥2 014，可得x-3≥2 014，或x-3≤-2 014，由此解得故不等式的解集．
（2）依題意知：當1≤x≤2時，|f（x）-a|＜2恒成立，即f（x）-2＜a＜f（x）+2恒成立．求得當1≤x≤2時，f（x）=（x-1）²+2的最值，可得實數a的取值范圍

解答：解：（1）由|f（x）-g（x）|≥2 014 得|-x+3|≥2 014，即|x-3|≥2 014，
所以，x-3≥2 014或x-3≤-2 014，解得x≥2017，或x≤-2011，
故不等式的解集為{x|x≥2017，或x≤-2011 }．
（2）依題意知：當1≤x≤2時，|f（x）-a|＜2恒成立，所以當1≤x≤2時，-2＜f（x）-a＜2恒成立，
即f（x）-2＜a＜f（x）+2恒成立．
由于當1≤x≤2時，f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2的最大值為3，最小值為2，因此3-2＜a＜2+2，即1＜a＜4，
所以，實數a的取值范圍（1，4）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，不等式的性質應用，體現了等價轉化的數學思想，屬于中檔題．