Question

【題目】已知函數.其中是自然對數的底數.

（1）求函數在點處的切線方程；

（2）若不等式對任意的恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

(1)利用導數的幾何意義求出切線的斜率，再求出切點坐標即可得在點處的切線方程；

（2）令，然后利用導數并根據a的情況研究函數的單調性和最值.

（1），，

∴，

又，

∴切線方程為，即.

（2）令，

，

①若，則在上單調遞減，又，

∴恒成立，∴在上單調遞減，又，

∴恒成立.

②若，令，

∴，易知與在上單調遞減，

∴在上單調遞減，，

當即時，在上恒成立，

∴在上單調遞減，即在上單調遞減，

又，∴恒成立，∴在上單調遞減，

又，∴恒成立，

當即時，使，

∴在遞增，此時，∴，

∴在遞增，∴，不合題意.

綜上，實數的取值范圍是.