Question

【題目】過直線y＝﹣1上的動點A（a，﹣1）作拋物線y＝x2的兩切線AP，AQ，P，Q為切點.

（1）若切線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值.

（2）求證：直線PQ過定點.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析

【解析】

（1）設過A作拋物線y＝x2的切線的斜率為k，用選定系數法給出切線的方程，與拋物線方程聯立消元得到關于x的一元二次方程，此一元二次方程僅有一根，故其判別式為0，得到關于k的一元二次方程，k1，k2必為其二根，由根系關系可求得兩根之積為定值，即k1k2為定值；

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），用其坐標表示出兩個切線的方程，因為A點是兩切線的交點將其坐標代入兩切線方程，觀察發現P（x1，y1），Q（x2，y2）的坐標都適合方程2ax﹣y+1＝0上，因為兩點確定一條直線，故可得過這兩點的直線方程必為2ax﹣y+1＝0，該線過定點（0，1）故證得.

（1）設過A作拋物線y＝x2的切線的斜率為k，

則切線的方程為y+1＝k（x﹣a），

與方程y＝x2聯立，消去y，得x2﹣kx+ak+1＝0.

因為直線與拋物線相切，所以△＝k2﹣4（ak+1）＝0，

即k2﹣4ak﹣4＝0.由題意知，此方程兩根為k1，k2，

∴k1k2＝﹣4（定值）；

（2）設P（x1，y1），Q（x2，y2），由y＝x2，得y′＝2x.

所以在P點處的切線斜率為：，

因此，切線方程為：y﹣y1＝2x1（x﹣x1）.

由y1＝x12，化簡可得，2x1x﹣y﹣y1＝0.

同理，得在點Q處的切線方程為2x2x﹣y﹣y2＝0.

因為兩切線的交點為A（a，﹣1），故2x1a﹣y1+1＝0，2x2a﹣y2+1＝0.

∴P，Q兩點在直線2ax﹣y+1＝0上，即直線PQ的方程為：2ax﹣y+1＝0.

當x＝0時，y＝1，所以直線PQ經過定點（0，1）.