Question

【題目】設f（x）是定義在R上的恒不為零的函數，對任意實數x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y），若a1= ，an=f（n）（n∈N*），則數列{an}的前n項和Sn的取值范圍是（ ）
A.[ ，2）
B.[ ，2]
C.[ ，1）
D.[ ，1]

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵對任意x，y∈R，都有f（x）f（y）=f（x+y）， ∴令x=n，y=1，得f（n）f（1）=f（n+1），
即 = =f（1）= ，
∴數列{an}是以 為首項，以 為等比的等比數列，
∴an=f（n）=（ ）n ，
∴Sn= =1﹣（ ）n∈[ ，1）．
故選C．
根據f（x）f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得數列{an}是以 為首項，以 為等比的等比數列，進而可以求得Sn ， 進而Sn的取值范圍．