Question

【題目】已知， 為實數，函數，函數．

(1) 當時，令，若恒成立，求實數的取值范圍；

(2) 當時，令，是否存在實數，使得對于函數定義域中的任意實數，均存在實數，有成立？若存在，求出實數的取值集合；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】試題分析：（1）恒成立，等價于恒成立，利用導數研究函數的單調性，求出的最大值即可得結果；(2) 時， ，對 分兩種情況討論，分別利用導數研究函數的單調性（需要兩次求導），利用單調性結合函數圖象，排除不合題意的值進而可得

試題解析：(1) 當時， 在 上遞增，在 上遞減，可得的最大值為，所以可得）.

(2) 當a＝－1時，假設存在實數b滿足條件，則G(x)＝lnx≥1在x∈(0，1)∪(1，＋∞)上恒成立．

1) 當x∈(0，1)時，G(x)＝lnx≥1可化為(bx＋1－b)lnx－x＋1≤0，

令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(0，1)，

問題轉化為：H(x)≤0對任意x∈(0，1)恒成立(*)；

則H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋＋b－1，H′(1)＝0.

令Q(x)＝blnx＋＋b－1，則Q′(x)＝.

① b≤時，因為b(x＋1)－1≤ (x＋1)－1<×2－1＝0，

故Q′(x)<0，所以函數y＝Q(x)在x∈(0，1)時單調遞減，Q(x)>Q(1)＝0，

即H′(x)>0，從而函數y＝H(x)在x∈(0，1)時單調遞增，

故H(x)<H(1)＝0，所以(*)成立，滿足題意；

② 當b＞，Q′(x)＝＝，

因為b>，所以－1<1，記I＝∩(0，1)，則當x∈I時，x－>0，

故Q′(x)>0，所以函數y＝Q(x)在x∈I時單調遞增，Q(x)<Q(1)＝0，

即H′(x)<0，從而函數y＝H(x)在x∈I時單調遞減，所以H(x)>H(1)＝0，此時(*)不成立；

所以當x∈(0，1)，G(x)＝lnx≥1恒成立時，b≤；

2) 當x∈(1，＋∞)時，G(x)＝lnx≥1可化為(bx＋1－b)lnx－x＋1≥0，

令H(x)＝(bx＋1－b)lnx－x＋1，x∈(1，＋∞)，問題轉化為：

H(x)≥0對任意的x∈(1，＋∞)恒成立(**)；則H(1)＝0，H′(x)＝blnx＋＋b－1，H′(1)＝0.

令Q(x)＝blnx＋＋b－1，則Q′(x)＝.

① b≥時，b(x＋1)－1>2b－1≥×2－1＝0，

故 Q′(x)>0，所以函數y＝Q(x)在x∈(1，＋∞)時單調遞增，Q(x)>Q(1)＝0，即H′(x)>0，

從而函數y＝H(x)在x∈(1，＋∞)時單調遞增，所以H(x)>H(1)＝0，此時(**)成立；

② 當b<時，

ⅰ) 若 b≤0，必有Q′(x)<0，故函數y＝Q(x)在x∈(1，＋∞)上單調遞減，

所以Q(x)<Q(1)＝0，即H′(x)<0，

從而函數y＝H(x)在x∈(1，＋∞)時單調遞減，所以H(x)<H(1)＝0，此時(**)不成立；

ⅱ) 若0<b<，則－1>1，所以x∈時，Q′(x)＝＝<0，

故函數y＝Q(x)在x∈上單調遞減，Q(x)<Q(1)＝0，即H′(x)<0，

所以函數y＝H(x)在x∈時單調遞減，所以H(x)<H(1)＝0，此時(**)不成立；

所以當x∈(1，＋∞)，G(x)＝lnx≥1恒成立時，b≥.(15分)

綜上所述，當x∈(0，1)∪(1，＋∞)，G(x)＝lnx≥1恒成立時，b＝，從而實數b的取值集合為.