Question

【題目】已知函數（為實數）．

（Ⅰ）若，求函數在處的切線方程．

（Ⅱ）求函數的單調區間．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）．（）見解析（）．

【解析】試題分析：（1）利用導數的定義， ， ，所以切線方程為；（2）求導得到，對進行分類討論，得到單調區間；（3）由題意， ，在（2）的基礎上，進行分類討論，得到．

試題解析：

（1）當時， ， ．

∴， ，

∴所求切線方程為．

（）．

令，則或，

當時，令，則，令，則．

當時，即時， 恒成立．

當時，即時，令，則或．

令，則．

當即時，令，則或，

令，則．

綜上，當時， 的單調增區間為，單調減區間為；

當時， 的單調增區間為和，單調減區間為；

當時， 的單調增區間為；

當時， 的單調增區間為和，單調減區間為．

（）當時， 在上單調遞增，

∴的最小值為，

∴，

∴．

當時， 在上單調減，在上單調遞增，

∴的最小值為．

∵，

∴， ，

∴，

∴．

當時， 在上單調遞減，

∴的最小值為．

∵，∴，

∴．

綜上可得．