Question

【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）．在以為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，直線的極坐標方程為．

（Ⅰ）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設點，若直線與曲線交于，兩點，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）曲線的普通方程為；直線的直角坐標方程為；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）消去參數可得曲線的普通方程，利用極坐標與直角坐標互化的方法確定直線的直角坐標方程即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點在直線上，聯立直線的參數方程與C的直角坐標方程，結合直線的幾何意義可得的值.

（Ⅰ）由，消去參數可得，故曲線的普通方程為．

由，可得，即，

將，代入上式，可得，

故直線的直角坐標方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，點在直線上，可設直線的參數方程為（為參數），

將，代入，化簡可得，

設，兩點對應的參數分別為，，則，

所以．