Question

已知函數f（x）=x²-1，g（x）=a|x-1|，
（1）若關于x的方程|f（x）|=g（x）只有一個實數解，求實數a的取值范圍；
（2）設h（x）=|f（x）|+g（x），當x∈[-2，2]時，不等式h（x）≤a²恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,二次函數在閉區間上的最值

專題：計算題,壓軸題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意，|x²-1|=a|x-1|，即|x-1|（|x+1|-a）=0，從而化為方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，從而求出實數a的取值范圍；
（2）恒成立問題化為最值問題，h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|=

x2+ax-a-1，x≥1 -x2-ax+a+1，-1≤x＜1 x2-ax+a-1，x＜-1

，討論a的不同取值范圍從而確定函數的單調性，從而求出函數的最大值，令最大值）≤a²，從而求實數a的取值范圍．

解答： 解：（1）方程|f（x）|=g（x）可化為|x²-1|=a|x-1|，
變形得|x-1|（|x+1|-a）=0，
顯然，x=1已是該方程的根，
從而欲原方程只有一解，
即要求方程|x+1|=a有且僅有一個等于1的解或無解，
則a＜0．
（2）由題意，h（x）=|f（x）|+g（x）=|x²-1|+a|x-1|
=

x2+ax-a-1，x≥1 -x2-ax+a+1，-1≤x＜1 x2-ax+a-1，x＜-1

，
①當

a

2

＞1，即a＞2時，結合圖形可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，
經比較，此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3，
則當x∈[-2，2]時，不等式h（x）≤a²恒成立可化為3a+3≤a²，
解得a≥

3+ 21

2

；
②當0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2時，
結合圖形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增；
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，
經比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為3a+3，
則當x∈[-2，2]時，不等式h（x）≤a²恒成立可化為3a+3≤a²，
無解；
③當-1≤

a

2

＜0，即-2≤a＜0時，
結合圖形可知h（x）在[-2，-1]，[-

a

2

，1]上遞減，在[-1，-

a

2

]，[1，2]上遞增；
且h（-2）=3a+3，h（2）=a+3，h（-

a

2

）=

a2

4

+a+1，
經比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3，
則當x∈[-2，2]時，不等式h（x）≤a²恒成立可化為a+3≤a²，
解得，-2≤a≤

1- 13

2

；
④當-

3

2

≤

a

2

＜-1，即-3≤a＜-2時，
結合圖形可知h（x）在[-2，

a

2

]，[1，-

a

2

]上遞減，在[

a

2

，1]，[-

a

2

，2]上遞增，
且h（-2）=3a+3＜0，h（2）=a+3≥0，
經比較，知此時h（x）在[-2，2]上的最大值為a+3．
則當x∈[-2，2]時，不等式h（x）≤a²恒成立可化為a+3≤a²，
解得，-3≤a＜-2；
⑤當

a

2

＜-

3

2

，即a＜-3時，結合圖形可知h（x）在[-2，1]上遞減，在[1，2]上遞增，
故此時h（x）在[-2，2]上的最大值為h（1）=0，
則當x∈[-2，2]時，不等式h（x）≤a²恒成立可化為0≤a²，
則a＜-3；
綜上所述，實數a的取值范圍為（-∞，

1- 13

2

]∪[

3+ 21

2

，+∞）．

點評：本題考查了方程的根的個數問題及恒成立問題，恒成立問題化為最值問題處理，但討論比較困難，化簡也很繁瑣，屬于難題．