Question

A，B是橢圓的右頂點及上頂點，由橢圓弧

x2

4

+y²=1（x≥0，y≥0）及線段AB構成的區域為Ω，P是區域Ω上的任意一點（包括邊界），設

OP

=λ

OA

+μ

OB

，則動點M（λ，μ）所形成區域Ω′的面積是

 

．

Answer 1

考點：向量在幾何中的應用

專題：平面向量及應用

分析：先將A、B兩點的坐標求出來，代入

OP

=λ

OA

+μ

OB

，用μ、λ將P點坐標表示出來，再根據P在區域Ω內，構造出關于λ、μ的不等式組，化簡后根據不等式的幾何意義做出點M（λ，μ）的圖象，再求其面積．

解答： 解：由橢圓弧

x2

4

+y²=1（x≥0，y≥0）得A（2，0），B（0，1），
∴直線AB方程為

x

2

+y=1，
且

OP

=λ

OA

+μ

OB

=λ（2，0）+μ（0，1）=（2λ，μ），
又∵P是區域Ω上的任意一點（包括邊界），
∴

2λ 2 +μ≥1 (2λ)2 4 +μ2≤1 λ＞0，μ＞0

，化簡得

λ+μ≥1 λ2+μ2≤1 λ，μ＞0

，
∴M點所在區域是由直線λ+μ=1，圓λ²+μ²=1，以及兩坐標軸的正半軸圍成的弓形部分，
∴S=

π

4

×12-

1

2

×1×1=

π

4

-

1

2

．
故答案為

π

4

-

1

2

．

點評：這是一個類似于“線性規劃”的問題，思路是先根據題意找到點M（λ，μ）的橫縱坐標所滿足的條件，再結合其幾何意義畫出圖象后，利用公式求出面積．