Question

過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F作斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段|AB|=8，則p=

 

；過拋物線x²=2py（p＞0）的焦點F作傾角為30°的直線，與拋物線分別交于A，B兩點（A在y軸左側），則

|AF|

|FB|

=

 

．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設直線AB的方程與拋物線的方程聯立，利用根與系數的關系可得x₁+x₂．再利用弦長公式|AB|=x₁+x₂+p，即可得到p；

解答： 解：拋物線y²=2px的焦點F（

p

2

，0），準線方程為x=-

p

2

∴直線AB的方程為y=x-

p

2

，
代入y²=2px可得x²-3px+

p2

4

=0
∴x_A+x_B=3p，
由拋物線的定義可知，AB=AF+BF=x_A+x_B+p=4p=8
∴p=2；
設直線l的方程為：x=

3

（y-

p

2

），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程代入拋物線方程，消去x可得12y²-20py+3p²=0，
解方程得y₁=

p

6

，y₂=

3p

2

由拋物線的性質知，

|AF|

|FB|

=

y1+ p 2

y2+ p 2

=

1

3

．
故答案為：2，

1

3

．

點評：本題考查了拋物線的定義、標準方程，以及簡單性質的應用，考查直線與拋物線相交問題、焦點弦長問題、弦長公式，屬于中檔題．