Question

【題目】設為數列的前項和，對任意的，都有（為正常數）.

（1）求證：數列是等比數列；

（2）數列滿足，，求數列的通項公式；

（3）在滿足（2）的條件下，求數列的前項和.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用與之間的關系，對分兩種情況討論，時，求的值，時，利用得出與之間的關系，進而利用定義證明數列為等比數列；

（2）在（1）的條件下求出的值，然后根據數列的遞推公式的結構利用倒數法得到數列為等差數列，通過求處等差數列的通項公式求出數列的通項公式；（3）利用（2）中數列的通項公式，并根據數列的通項公式的結構選擇錯位相減法求數列的前項和.

試題解析：（1）證明：當時，，解得． 1分

當時，．即． 2分

又為常數，且，∴． 3分

∴數列是首項為1，公比為的等比數列． 4分

（2） 5分 ∵，∴，即． 7分

∴是首項為，公差為1的等差數列． 8分

∴，即． 9分

（3）由（2）知，則．

所以， 10分

即， ① 11分

則， ② 12分

②－①得， 13分

故． 14分