Question

【題目】某次考試中，語文成績服從正態分布，數學成績的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績大于135的為特別優秀，隨機抽取的500名學生在本次考試中語文、數學成績特別優秀的大約各多少人？（假設數學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）

（Ⅱ）如果語文和數學兩科都特別優秀的共有6人，從（Ⅰ）中至少有一科成績特別優秀的同學中隨機抽取3人，設3人中兩科都特別優秀的有人，求的分布列和數學期望；

（Ⅲ）根據以上數據，是否有99%的把握認為語文特別優秀的同學，數學也特別優秀.

（附公及表）

①若，則， ；

②， ；

③

Answer 1

【答案】（I）數學人，語文人；（II）期望為；（III）有的把握認為語文特別優秀的同學數學也特別優秀.

【解析】試題分析：（Ⅰ）語文服從正態分布， ，即 ，根據頻率分布直方圖計算成績大于135的頻率，再乘以500就是人數；（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結果可知，至少有一科特別優秀的有16人，其中都優秀的有6人，恰有一科優秀的有10人， 服從超幾何分布，列出分布列；（Ⅲ）根據（Ⅰ）（Ⅱ）列 列聯表，計算 和6.635比較大小.

試題解析：（Ⅰ） ∵語文成績服從正態分布，

∴語文成績特別優秀的概率為，

數學成績特別優秀的概率為，

故語文特別優秀的同學有人，數學特別優秀的同學有人；

（Ⅱ）∵至少有一科成績特別優秀的同學人數為： ，

∴語文、數學兩科都優秀的有人，單科優秀的有人， 的所有可能取值為，

∴， ，

， ，

∴的分布列為：

	0	1	2	3

∴；

（Ⅲ）列聯表：

	語文特別優秀	語文不特別優秀	合計
數學特別優秀	6	6	12
數學不特別優秀	4	484	488
合計	10	490	500

于，

∴有的把握認為語文特別優秀的同學數學也特別優秀．

注：計算時，不計算出近似值144.5，答案中類有似“”的化簡步驟直接寫出“>6.635”不扣分．