Question

【題目】設數列滿足：，（其中為非零實常數）.

（1）設，求證：數列是等差數列，并求出通項公式；

（2）設，記，求使得不等式成立的最小正整數；

（3）若，對于任意的正整數，均有，當、、依次成等比數列時，求、、的值.

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）10；（3）見解析

【解析】

(1)時,根據定義可證數列是等差數列,根據等差數列的通項公式可求;

(2)時,將已知變形可得數列是等比數列,可得的通項公式,

可得的通項公式,再求和解不等式可得;

(3)且時,將已知變形為,可得數列為等比數列,可求得,再根據數列遞增可求得,再由、、依次成等比數列,可得,因為,所以只能是.

(1)證明:時,由 得,

所以數列是首項為,公差為的等差數列,

所以.

(2)時,由得.

因為,所以數列是首項為1,公比為的等比數列,

所以,

所以,

所以,

所以,

所以,即,

所以,所以,

所以.

所以使得不等式成立的最小正整數為10.

(3)時,由,得,

得,

所以,

所以,

由知為自然數,所以,

又對于任意的正整數，均有,

所以數列為遞增數列,

所以,又,

所以,

所以,

所以,

因為、、依次成等比數列,

所以,

即.

即,

因為,,,

所以只能有,

所以,

綜上.