Question

【題目】已知函數.

（1）試求函數的極值點的個數；

（2）若，恒成立，求的最大值.

參考數據：

	1.6	1.7	1.74	1.8	10
	4.953	5.474	5.697	6.050	22026
	0.470	0.531	0.554	0.558	2.303

Answer 1

【答案】（1）有唯一極小值點，沒有極大值點.（2）10

【解析】

（1）對函數求導可得，先判斷在單調遞增，結合的符號即可得結果；（2）結合（1）中的結論，有唯一極小值點，故原題等價于，即，令，則在單調遞減，結合表中數據存在唯一正數，使得，從而，當時，易知不等式成立，當時，等價于，令，通過導數判斷出的單調性，可得，接著證明時，滿足題意即可.

（1）函數的定義域為，，

當時，在單調遞增，

，時，，

∴存在唯一正數，使得，

函數在單調遞減，在單調遞增，

∴函數有唯一極小值點，沒有極大值點，

∴當時，有唯一極小值點，沒有極大值點.

（2）由（1）知，當時，有唯一極小值點，

∴，恒成立

，∴，

∴.

令，則在單調遞減，

由于，，

∴存在唯一正數，使得，從而，

由于恒成立，

①當時，成立；

②當時，由于，∴.

令，當時，，

∴在單調遞減，從而.

，且，且，

∴.

下面證明時，.

，且在單調遞增，由于，，

∴存在唯一，使得，

∴.

令，，易知在單調遞增，

∴，

∴，即時，.

∴的最大值是10.