Question

【題目】已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，且經(jīng)過點(diǎn)．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作一條斜率不為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，記點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為．證明：直線經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，直線經(jīng)過軸上定點(diǎn)，其坐標(biāo)為

【解析】

（Ⅰ）由已知結(jié)合橢圓定義求得，再求得，則橢圓方程可求；（Ⅱ）由題意，設(shè)直線的方程為，再設(shè)，，，，則，．聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于的一元二次方程，求出所在直線方程，取求得值，即可證明直線經(jīng)過軸上一定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．

解：（Ⅰ）由橢圓的定義，可知

.

解得.

又，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（Ⅱ）由題意，設(shè)直線的方程為.

設(shè)，，則.

由，消去，可得.

，.

，.

，

直線的方程為.

令，可得.

..

直線經(jīng)過軸上定點(diǎn)，其坐標(biāo)為.