Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N^*），數列{b_n}滿足b_n=2ⁿa_n．
（Ⅰ）求證數列{b_n}是等差數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設c_n=log₂

n

an

，數列{

2

cncn+2

}的前n項和為T_n，求滿足T_n＜

25

21

（n∈N^*）的n的最大值．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）利用“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等差數列的通項公式即可得出．
（Ⅱ）先求通項，再利用裂項法求和，進而解不等式，即可求得正整數n的最大值．

解答： （Ⅰ）證明：∵S_n=-a_n-（

1

2

）^n-1+2（n∈N⁺），當n≥2時，S_n-1=-a_n-1-（

1

2

）^n-2+2（n∈N⁺），
∴a_n=S_n-S_n-1=-a_n+a_n-1+（

1

2

）^n-1，
化為2ⁿa_n=2^n-1a_n-1+1．
∵b_n=2ⁿa_n．∴b_n=b_n-1+1，即當n≥2時，b_n-b_n-1=1．
令n=1，可得S₁=-a₁-1+2=a₁，即a₁=

1

2

．
又b₁=2a₁=1，∴數列{b_n}是首項和公差均為1的等差數列．
于是b_n=1+（n-1）•1=n=2ⁿa_n，
∴a_n=

n

2n

．
（Ⅱ）解：∵c_n=log₂

n

an

=n，
∴

2

cncn+2

=

1

n

-

1

n+2

，
∴T_n=（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+…（

1

n

-

1

n+2

）=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，
由T_n＜

25

21

，得1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

25

21

，即

1

n+1

+

1

n+2

＞

13

42

，
∵f（n）=

1

n+1

+

1

n+2

單調遞減，f（4）=

9

20

，f（5）=

13

24

，
∴n的最大值為4．

點評：本題綜合考查了“當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”及其等差數列的通項公式、“裂項法”等基礎知識與基本方法，考查恒成立問題，正確求通項與數列的和是關鍵．