Question

【題目】在平面直角坐標系 中，已知曲線 ： （ 為參數），以平面直角坐標系 的原點 為極點， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線 ： .
（1）將曲線 上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的 、2倍后得到曲線 ，試寫出直線 的直角坐標方程和曲線 的參數方程；
（2）在曲線 上求一點 ，使點 到直線 的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 由題意知，直線 的直角坐標方程為：

∵曲線 的直角坐標方程為：

∴曲線 的參數方程為： （ 為參數）

（2）解: 設點 的坐標 ，則點 到直線 的距離為：

，

∴當 時，點 ，此時

【解析】(1)由題意利用極坐標和直角坐標的互化關系得出直線的l的普通方程，根據圖像的變換求出曲線的普通方程再轉化為參數方程。(2)由題意可直接設出點p在極坐標下的坐標，代入到點到直線的距離公式中，結合正弦值得最大值得出距離的最大值。