Question

【題目】已知函數， ，其中， 為常數．

（1）若是函數的一個極值點，求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數有2個零點， 有6個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：結合極值點導數為零及導數的幾何意義求出切線方程；函數零點問題是導數的一個應用方面 ，首先搞清函數 零點個數的三種判斷方法，其一： 的圖象與 軸交點的橫坐標 ；其二：方程 的根；其三：函數 與 的圖象的交點的橫坐標 ；本題根據函數存在2個零點，轉化為方程有2個不同的實根，解出，再根據有6個零點，求出范圍.

試題解析：（1）∵，∴，∴，即．

又，∴，∵，

∴所求切線方程為，即．

（2）若函數存在2個零點，則方程有2個不同的實根，

設，則，令，得；

令，得， ，∴的極小值為．　

∵，∴由的圖象可知．

∵，∴令，得或，即或，

而有6個零點，故方程與都有三個不同的解，

∴且，∴，∴．