Question

【題目】已知點P（2，1）與Q關于原點O對稱，直線PM，QM相交于點M，且它們的斜率之積是﹣ （Ⅰ）求點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過P作直線l交軌跡C于另一點A，求DPAO的面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設點M（x，y），…（1分） 因為點P（2，1）與Q關于原點O對稱，所以Q（﹣2，﹣1），
因此，直線PM，QM的斜率之積是 =﹣ ，
化簡，得 =1（x≠±2），
所以點M的軌跡C的方程為 =1（x≠±2）．
（Ⅱ）當直線PA的斜率不存在時，則直線PA的方程為x=2，
則點A的坐標為A（2，﹣1），S△AOP= =2．
當直線PA的斜率存在時，設斜率為k，則直線PA的方程為y﹣1=k（x﹣2），
設設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
由直線與橢圓，消去y得（4k2+1）x2﹣（16k2﹣8k）x+16k2﹣16k﹣4=0，
由已知△=16（2k+1）2＞0，所以k ，由題意，x1=2﹣ ，
則y1=﹣ +1，
|PA|= =
而原點O到直線l的距離為d= ，
所以S△AOP= =2|1﹣ |
因為k ，所以0＜|1﹣ |＜1，從而0＜S△AOP＜2綜上可知，0＜S△AOP≤2．
【解析】（Ⅰ）設出點M的坐標，表示出直線MP、MQ的斜率，求出它們的斜率之積，利用斜率之積是﹣ ，建立方程，去掉不滿足條件的點，即可得到點M的軌跡方程；（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，結合題設條件求出三角形的面積，即可得出結論．