Question

設拋物線C：y²=3px（p＞0）的焦點為F，點M在C上，|MF|=5，若以MF為直徑的圓過點（0，2），則C的方程為

 

．

Answer 1

考點：圓的一般方程,拋物線的簡單性質

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據拋物線方程算出|OF|=

3p

4

，設以MF為直徑的圓過點A（0，2），在Rt△AOF中利用勾股定理算出|AF|=

4+ 9p2 16

，再由直線AO與以MF為直徑的圓相切得到∠OAF=∠AMF，Rt△AMF中利用∠AMF的正弦建立關系式，從而得到關于p的方程，解之得到實數p的值，進而得到拋物線C的方程．

解答： 解：因為拋物線C方程為y²=3px（p＞0）所以焦點F坐標為（

3p

4

，0），可得|OF|=

3p

4

因為以MF為直徑的圓過點（0，2），所以設A（0，2），可得AF⊥AM
Rt△AOF中，|AF|=

4+ 9p2 16

，
所以sin∠OAF=

|OF|

|AF|

=

3p 4

4+ 9p2 16

因為根據拋物線的定義，得直線AO切以MF為直徑的圓于A點，
所以∠OAF=∠AMF，可得Rt△AMF中，sin∠AMF=

|AF|

|MF|

=

3p 4

4+ 9p2 16

，
因為|MF|=5，|AF|=

4+ 9p2 16

，
所以

4+ 9p2 16

5

=

3p 4

4+ 9p2 16

，整理得4+

9p2

16

=

15p

4

，解之可得p=

4

3

或p=

16

3

因此，拋物線C的方程為y²=4x或y²=16x．
故答案為：y²=4x或y²=16x．

點評：本題給出拋物線一條長度為5的焦半徑MF，以MF為直徑的圓交拋物線于點（0，2），求拋物線的方程，著重考查了拋物線的定義與簡單幾何性質、圓的性質和解直角三角形等知識，屬于中檔題．