Question

【題目】已知p：方程x2＋(m2－6m)y2＝1表示雙曲線，q：函數f(x)＝x3－mx2＋(2m＋3)x在(－∞，＋∞)上是單調增函數．

（1）若p是真命題，求實數m的取值范圍；

（2）若p或q是真命題，p且q是假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）(0，6)；（2）[－1，0]∪(3，6)

【解析】

（1）由曲線C：x2+（m2﹣6m）y2＝1是雙曲線，列出不等式求解即可．（2）由函數f（x）x3﹣mx2+（2m+3）x是單調增函數，通過（x）＝x2﹣2mx+m+3≥0恒成立．推出△≤0，解得m的范圍，利用復合命題的真假關系，轉化求解即可．

（1）由題意知，曲線C：x2＋(m2－6m)y2＝1是雙曲線，

所以m2－6m＜0．解得0＜m＜6，即m的取值范圍為(0，6)．

（2）由函數f(x)＝x3－mx2＋(2m＋3)x是單調增函數，

可知f ′(x)＝x2－2mx＋2m＋3≥0恒成立．

故△＝－4(2m＋3)≤0，解得－1≤m≤3．

因為p或q是真命題，p且q是假命題，所以p真q假或者p假q真．

因此

故m的取值范圍是[－1，0]∪(3，6)．