Question

【題目】已知函數，.

（1）若函數在處取得極值，求的值，并求函數在處的切線方程；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】試題分析：

（1）由函數的解析式可得：，據此利用導函數研究函數的切線可得切線方程為；

（2）原問題等價于：在區間上恒成立.

解法一（將絕對值看成一個函數的整體進行研究）：

構造函數，當時不合題意，當時，結合函數的單調性可得，據此可得：.

解法二（求命題的否定所對應的集合，再求該集合的補集）：

考查原命題的否定：在區間上有解.化簡可得，其中函數在區間上無最小值，函數的最大值為，據此可得.

試題解析：

（1）的定義域是，=，

由得.

當時，=，=

函數在處的切線方程為y=0.

（2）由得在上恒成立,

即在上恒成立.

解法一（將絕對值看成一個函數的整體進行研究）：

令，

①當時，在上單調遞減，，，

所以的值域為：，

因為，所以的值域為；所以不成立.

②當時，易知恒成立.

，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

因為，所以，所以，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，

依題意，，所以

綜上：.

解法二（求命題的否定所對應的集合，再求該集合的補集）：

命題“對都成立”的否定是“在上有解”.

在上有解在上有解，

在上有解，

令，.

，

所以在上單調遞增，

又，所以無最小值.所以；

令，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減.

所以,所以.

因為在上有解時，；

所以對都成立時，.