Question

【題目】如圖所示，在四棱柱中，側棱底面，，，，，為棱的中點.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值；

（3）設點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值是，求線段的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）以為原點建立空間直角坐標系，通過可證得結論；

（2）根據二面角的空間向量求法可求得結果；

（3）利用共線向量和向量線性運算表示出，根據直線與平面所成角的空間向量求法可構造方程求得，從而得到，求解的模長即為所求結果.

（1）以為原點可建立如下圖所示空間直角坐標系

則，，，，，

，

（2）由（1）知：，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個法向量為

設平面的法向量

則，令，則，

二面角的正弦值為

（3）由（1）知：，

設，

平面，平面

又，平面， 平面

平面的一個法向量為

設為直線與平面所成角

則，解得：

則 ，即的長為