Question

【題目】已知正方形邊長為，若在正方形邊上恰有個不同的點，使，則的取值范圍為_____________.

Answer 1

【答案】

【解析】

建立坐標系，逐段分析的取值范圍及對應的解得答案．

以AB所在直線為x軸，以AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系如圖：

則F（0，2），E（8，4）

（1）若P在AB上，設P（x，0），0≤x≤8

∴（﹣x，2），（8﹣x，4）

∴x2﹣8x+8，

∵x∈[0，8]，∴﹣88，

∴當λ＝﹣8時有一解，當﹣8＜λ≤8時有兩解；

（2）若P在AD上，設P（0，y），0＜y≤8，

∴（0，2﹣y），（8，4﹣y）

∴（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8

∵0＜y≤8，∴﹣124

∴當λ＝﹣1或8＜λ＜24時有唯一解；當﹣1＜λ≤8時有兩解

（3）若P在DC上，設P（x，8），0＜x≤8

∴（﹣x，﹣6），（8﹣x，﹣4），

∴x2﹣8x+24，

∵0＜x≤8，∴824，

∴當λ＝8時有一解，當8＜λ≤24時有兩解．

（4）若P在BC上，設P（8，y），0＜y＜8，

∴（﹣8，2﹣y），（0，4﹣y），

∴（2﹣y）（4﹣y）＝y2﹣6y+8

∵0＜y＜8，∴﹣124，

∴當λ＝﹣1或8＜λ＜24時有一解，當﹣1＜λ≤8時有兩解．

綜上，在正方形ABCD的四條邊上有且只有6個不同的點P，使得λ成立，那么λ的取值范圍是（﹣1，8）

故答案為：（﹣1，8）