Question

【題目】如圖1，在梯形中，，，，，是的中點，是與的交點，以為折痕把折起，使點到達點的位置，且，如圖2.

（1）證明：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

(1)根據正方形的性質可得，由勾股定理可得.可得平面，由面面垂直的判定定理即可證明平面平面；(2)由（1）知互相垂直，以為軸建立空間坐標系，為平面的法向量，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可求得二面角的余弦值.

（1）在圖1中，因為，，，

是的中點，，

所以四邊形為正方形，

所以，

即在圖2中，，，.

又因為，所以在中，，

所以.

所以平面，

又因為平面，所以平面平面.

（2）由（1）知互相垂直，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，

因為，

所以，

所以，

設平面的法向量為，

則得，

令，則，，即，

由（1）平面平面，且，

所以平面，即為平面的法向量，

所以，

所以二面角的余弦值為.

（2）（幾何法）取的中點，連接.

因為，，

所以，，

所以就是二面角的平面角.

又，，，

所以，

所以，

所以，

所以二面角的余弦值為.