Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與上、下頂點構成直角三角形，以橢圓的長軸長為直徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設過橢圓右焦點且不平行于軸的動直線與橢圓相交于兩點，探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，試求出定值和點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）定點為.

【解析】試題分析：（1）由橢圓幾何意義得，再根據圓心到切線距離等于半徑得，解得， （2）先根據向量數量積化簡，再聯立直線方程與橢圓方程，利用韋達定理代人化簡得，最后根據k的任意性確定點的坐標及定值

試題解析：（1）由題意知， ，解得，

則橢圓的方程為.

（2）當直線的斜率存在時，設直線,

聯立，得，

∴.

假設軸上存在定點，使得為定值，

∴

.

要使為定值，則的值與無關，∴，

解得，此時為定值，定點為.