Question

【題目】定義域為的函數滿足：，且對于任意實數，恒有，當時，.

（1）求的值，并證明當時，；

（2）判斷函數在上的單調性并加以證明；

（3）若不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）或

【解析】分析：（1）賦值：令，，可得，令，設，則，，因為，，所以.（2）單調性證明根據定義證明即可：設，則，，，由（1）知，，所以，即，（3）結合（2）的單調性可得只需解，對任意恒成立即可.

詳解：

（1）由已知，對于任意實數，恒有，

令，，可得，

因為當時，，所以，故.

令，設，則，，

因為，，所以.

（2）設，則，，

，

由（1）知，，所以，即，

所以函數在上為減函數.

（3）由得

所以

即，

上式等價于對任意恒成立，

因為，所以

所以對任意恒成立，

設，（時取等），

所以，

解得或.