Question

【題目】某廠家舉行大型的促銷活動，經測算某產品當促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t=5- （其中0 x a，a為正常數），現假定生產量與銷售量相等，已知生產該產品t萬件還需投入成本(10+2t)萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為5+ 萬元/萬件.
（1）將該產品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意知，利潤y=t(5+ ）)﹣(10+2t）﹣x=3t+10－x
由銷售量t萬件滿足t=5－ （其中0≤x≤a ， a為正常數）．
代入化簡可得：y=25－（ +x），（0≤x≤a ， a為正常數）
（2）解：由（1）知y =28－（ +x+3） ，
當且僅當 = x +3，即x =3時，上式取等號．
當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；
當0＜a＜3時，y在0≤x≤a上單調遞增，
x = a ， 函數有最大值．促銷費用投入x = a萬元時，廠家的利潤最大．
綜上述，當a≥3時，促銷費用投入3萬元時，廠家的利潤最大；
當0＜a＜3時，促銷費用投入x = a萬元時，廠家的利潤最大
【解析】（1）根據題目條件寫出方程，進行化簡即可，要注意自變量x的取值范圍。
（2）先利用均值不等式求出最大值，再根據a的范圍，判斷投入多大時，利潤最大。