Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，（n∈N^*），且a₁=1．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設數列{b_n}滿足b_n=

an+1-1

an+1+2

，數列{b_n}的前n項和為T_n，證明：對一切正整數n，都有n-

3

2

＜Tn＜n-

1

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合,數列遞推式

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）由已知條件推導出2a_n=a_n+1-2ⁿ，由此能證明{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，從而可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用放縮法，結合等比數列的求和公式即可證明．

解答： （1）解：∵S_n=a_n+1-2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n=S_n-S_n-1=（a_n+1-2ⁿ⁺¹+1）-（a_n-2ⁿ+1），
整理，得2a_n=a_n+1-2ⁿ，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=

1

2

，
∵a₁=1
∴{

an

2n

}是首項為

1

2

，公差為

1

2

的等差數列，
∴

an

2n

=

n

2

，
∴a_n=n•2^n-1．
（2）證明：b_n=

an+1-1

an+1+2

=1-

3

(n+1)•2n+2

，
∵2ⁿ⁺¹＜（n+1）•2ⁿ+2＜2²ⁿ⁺¹，
∴1-

3

2n+1

＜1-

3

(n+1)•2n+2

＜1-

3

22n+1

，
∴1-

3

2n+1

＜b_n＜1-

3

22n+1

，
∴n-（

3

22

+

3

23

+…+

3

2n+1

）＜T_n＜n-3（

1

23

+

1

25

+…+

1

22n+1

）
∴n-

3

2

[1-(

1

2

)n]＜T_n＜n-

1

2

[1-(

1

4

)n]，
∴對一切正整數n，都有n-

3

2

＜Tn＜n-

1

4

．

點評：本題考查數列與不等式的綜合，考查等差數列的證明，考查等比數列的求和，屬于中檔題．