Question

如圖，三棱錐V-ABC中，VA=VB=AC=BC=2VC，∠ACB=120°．
（1）求證：AB⊥VC；
（2）求二面角V-AB-C的度數．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取AB中點E，連接VE，CE，由已知條件推導出VE⊥AB，CE⊥AB，從而AB⊥平面VEC，由此能證明AB⊥VC．
（2）由已知得∠VEC為所求二面角V-AB-C的平面角，由此能求出二面角V-AB-C的度數．

解答： （1）證明：取AB中點E，連接VE，CE，
因為VA=VB，所以VE⊥AB，
同理，因為CA=CB，所以CE⊥AB，
又因為VE∩CE=E，
所以AB⊥平面VEC，
又因為VC?平面VEC
所以AB⊥VC．
（2）解：由（1）知∠VEC為所求二面角V-AB-C的平面角，
設VC=a，因為E為中點，AB=AC=2VC=2a，
又因為∠ACB=120°，所以AE=EB=

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a，CE=a，VE=a，
因為在△VEC中，VC=a，所以△VEC為等邊三角形，
所以∠VEC=60°，所以二面角V-AB-C的度數為60°．

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．