Question

【題目】已知函數（）.當點在函數圖象上運動時，對應的點在函數圖象上運動，則稱函數是函數的相關函數.

（1）解關于的不等式；

（2）對任意的，的圖象總在其相關函數圖象的下方，求的取值范圍；

（3）設函數，.當時，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用對數函數的單調性可解不等式.

（2）先求出，再考慮不等式對任意的恒成立后可得實數的取值范圍.

（3）當時，，令，求出的最小值后可得的最大值.

（1）依題，則，所以

所以原不等式的解集為.

（2）由題意，所以.

所以的相關函數為.

依題意，對任意的，的圖象總在其相關函數圖象的下方，

即當，恒成立①.

由對任意的總成立，，結合題設條件有.

在此條件下，①等價于時，恒成立，

即，即.

設，

要使時，恒成立，

只需即成立，解得，即的取值范圍是.

（3）由（2）可得當時，在區間上，.

即，

設，則.

令，則，

所以，

因為（當且僅當時等號成立），

可得，當時等號成立，滿足，則的最大值為，

所以的最大值是.