Question

【題目】如圖在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，側面底面，且，設、分別為、的中點.

（1）求證：平面；

（2）求證：平面平面；

（3）求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）為平行四邊形，連結，為中點，為中點，由三角形中位線定理可得,利用線面平行的判定定理可得結論；（2）利用面面垂直的性質可得，三角形為等腰直角三角形，可得；從而可得面，根據面面垂直的判定定理可得結果 ；（3）直線與平面所成角即為直線與平面所成角即，又，故所求角為.

試題解析：（1）證明：為平行四邊形，連結，為中點，

為中點，∴在中且平面，平面，

∴平面.

（2）證明：因為面面，平面面，

為正方形，，平面，

所以平面，∴，

又，所以是等腰直角三角形，且即，

，且、面，面，

又面，面面.

（3）直線與平面所成角即為直線與平面所成角即，又，故所求角為.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、面面垂直的判定與性質，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.