Question

已知函數f（x）=mx+lnx，其中m為常數，e為自然對數的底數．
（1）當m=-1時，求f（x）的最大值；
（2）若f（x）在區間（0，e]上的最大值為-3，求m的值；
（3）當m=-1時，g（x）=

lnx

x

+

1

2

，試證明函數y=|f（x）|的圖象恒在函數y=g（x）的圖象的上方．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，再根據導數求出單調區間，進而求出函數的最值；
（2）在定義域（0，+∞）內對函數f（x）求導，對m進行分類討論并判斷其單調性，根據f（x）在區間（0，e]上的單調性求其最大值，并判斷其最大值是否為-3，若是就可求出相應的最大值．
（3）m=-1時，f（x）=-x+lnx，由（1）得f（x）≤f（1）=-1，于是y=|f（x）|≥1，求出g（x）≤g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，從而得出函數y=|f（x）|的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方．

解答： 解：（1）易知f（x）定義域為（0，+∞），
當m=-1時，f（x）=-x+lnx，f′（x）=-1+

1

x

，令f′（x）=0，得x=1．
當0＜x＜1時，f′（x）＞0；當x＞1時，f′（x）＜0．
∴f（x）在（0，1）上是增函數，在（1，+∞）上是減函數．
f（x）_max=f（1）=-1．
∴函數f（x）在（0，+∞）上的最大值為-1．
（2）∵f′（x）=m+

1

x

，x∈（0，e]，

1

x

∈[

1

e

，+∞）．
①若m≥-

1

e

，則f′（x）≥0，從而f（x）在（0，e]上增函數，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1≥0，不合題意．
②若m＜-

1

e

，則由f′（x）＞0⇒m+

1

x

＞0，即0＜x＜-

1

m

由f′（x）＜0m+1=

1

x

＜0，即-

1

m

＜x≤e．
從而f（x）在（0，-

1

m

）上增函數，在（-

1

m

，+∞）為減函數
∴f（x）_max=f（-

1

m

）=-1+ln（-

1

m

），
令-1+ln（-

1

m

）=-3，則ln（-

1

m

）=-2
∴-

1

m

=e^-2，即a=-e²．∵-e²＜-

1

e

，
∴a=-e²為所求．
（3）m=-1時，f（x）=-x+lnx，
由（1）得f（x）≤f（1）=-1，于是y=|f（x）|≥1，
函數g（x）=

lnx

x

+

1

2

的定義域（0，+∞），求導得g′（x）=

1-lnx

x2

，
令g′（x）＞0，得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，
∴g（x）在（0，e）遞增，在（e，+∞）遞減，
∴g（x）≤g（e）=

1

e

+

1

2

＜1，
∴函數y=|f（x）|的圖象恒在y=g（x）的圖象的上方．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，參數的取值，本題是一道綜合題．