Question

設函數f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1．
（Ⅰ）當a=1時，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）當a=

1

3

時，設函數g（x）=x²-2bx-

5

12

，若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]，使f（x₁）=g（x₂）成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值,利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，得f(1)=-2，f′(x)=

1

x

-1，從而求出f（x）在x=1處的切線方程為y=-2；
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x-(1-a)

x2

=

-(x-1)[ax-(1-a)]

x2

，討論當a=0，a≠0，a＞

1

2

，a＜0時的情況，進而求出函數的單調區間；
（Ⅲ）a=

1

3

時，由（Ⅱ）得函數f（x）在區間（1，2）遞增，得f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

，問題轉化為g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值-

2

3

（*），而g（x）=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，討論①b＜0時，②0≤b≤1時，③b＞1時的情況，綜上，b的范圍是[

1

2

，+∞）．

解答： 解：函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

（Ⅰ）當a=1時，f（x）=lnx-x-1，
∴f(1)=-2，f′(x)=

1

x

-1，
∴f′（1）=0
∴f（x）在x=1處的切線方程為y=-2
（Ⅱ）f′(x)=

1

x

-a-

1-a

x2

=

-ax2+x-(1-a)

x2

=

-(x-1)[ax-(1-a)]

x2

，
f（x）的定義域為（0，+∞）
當a=0時，f′(x)=

x-1

x2

，f（x）的增區間為（1，+∞），減區間為（0，1）
當a≠0時，

1-a

a

＞1，即0＜a＜

1

2

時，
f（x）的增區間為(1，

1-a

a

)，減區間為（0，1），
(

1-a

a

，+∞)

1-a

a

=1，即a=

1

2

時，
f（x）在 （0，+∞）上單調遞減

1-a

a

＜1，即a＞

1

2

或a＜0時，
a＞

1

2

時，f(x)的增區間為(

1-a

a

，1)，減區間為(0，

1-a

a

)，(1，+∞)，
a＜0時，f(x)的增區間為(0，

1-a

a

)，(1，+∞)；減區間為(

1-a

a

，1)；
（Ⅲ）a=

1

3

時，由（Ⅱ）得函數f（x）在區間（1，2）遞增，
∴f（x）在[1，2]上的最小值為f（1）=-

2

3

，
若對于?x₁∈[1，2]，?x₂∈[0，1]使f（x₁ ）≥g（x₂）成立
?g（x）在[0，1]上的最小值不大于f（x）在[1，2]上的最小值-

2

3

（*），
又g（x）=（x-b）²-b²-

5

12

，x∈[0，1]，
①b＜0時，g（x）在[0，1]遞增，
g（x）_min=g（0）=-

5

12

＞-

2

3

與（*）矛盾，
②0≤b≤1時，g（x）_min=g（b）=-b²-

5

12

≤-

2

3

，
∴

1

2

≤b≤1，
③b＞1時，g（x）在[0，1]遞減，
∴g（x）_min=g（1）=

7

12

-2b≤-

2

3

，
∴b＞1，
綜上，b的范圍是[

1

2

，+∞）．

點評：本題考查了函數的單調性，函數的最值問題，考查導數的應用，分類討論，參數的范圍，切線的方程，是一道綜合題．