Question

已知等差數列{a_n}滿足a₂+a₆=10，a₅=6，數列b_n=an1-an．
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）證明：b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-1）b_n＜1（n∈N^*）．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的性質

專題：綜合題,等差數列與等比數列

分析：（1）利用等差數列{a_n}滿足a₂+a₆=10，a₅=6，求出a_n，即可求數列{b_n}的通項公式；
（2）先證明對正實數x≥2，

2x-1

(x+1)x

≤

1

3x-1

，再證明結論即可．

解答： （1）解：∵等差數列{a_n}滿足a₂+a₆=10，
∴2a₄=10，
∴a₄=5
∵a₅=6，
∴d=1，
∴a_n=5+（n-4）=n+1，
∴b_n=an1-an=

1

(n+1)n

；
（2）證明：先證明：對正實數x≥2，

2x-1

(x+1)x

≤

1

3x-1

，
兩邊取對數，即證明（x-1）ln3+ln（2x-1）≤xln（x+1），
令f（x）=（x-1）ln3+ln（2x-1）-xln（x+1），f（2）=0，則
f′（x）=

ln3

x-1

+

2

2x-1

-ln(x+1)-

x

x+1

，f′（2）=0，
∵f″（x）=-

ln3

(x-1)2

-

4

(2x-1)2

-

1

x+1

-

1

(x+1)2

＜0
∴x≥2時，f′（x）單調遞減，f′（x）≤f′（2）=0，
∴f（x）單調遞減，
∴f（x）≤f（2），即對正實數x≥2，

2x-1

(x+1)x

≤

1

3x-1

．
∴b₁+3b₂+5b₃+…+（2n-1）b_n＜

1

2

+（

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

）=

1

2

+

1

2

（1-

1

3n-1

）＜1．

點評：本題考查數列的通項域求和，考查不等式的證明，證明對正實數x≥2，

2x-1

(x+1)x

≤

1

3x-1

是關鍵．