Question

【題目】在極坐標系中，已知圓的圓心為，半徑為.以極點為原點，極軸方向為軸正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，直線的參數方程為（為參數，且）.

（Ⅰ）寫出圓的極坐標方程和直線的普通方程；

（Ⅱ）若直線與圓交于、兩點，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】試題分析：

（Ⅰ）先求得圓C的直角坐標方程，然后再化成極坐標方程，消去直線參數方程中的參數，可得普通方程．（Ⅱ）求得圓心到直線的距離，根據半徑、弦心距和半弦長構成的直角三角形求解得到，然后再求最小值．也可根據幾何法直接求解．

試題解析：

（Ⅰ）在直角坐標系中，圓的圓心為，

故圓的直角坐標方程為.

即，

將代入上式可得，

即.

∴圓的極坐標方程為．

將方程消去參數得.

∴直線的普通方程為：.

（Ⅱ）法一：直線過圓內一定點，當時，有最小值，

∴.

法二：點到直線的距離，

∴ .

當時，有最小值.