Question

設矩陣A=

.

5 3 -2 0

.

，若存在一矩陣P=

.

-1 3 1 -2

.

使得A=PBP^-1．試求：
（Ⅰ）矩陣B； 
（Ⅱ）B³．

Answer 1

考點：變換、矩陣的相等

專題：矩陣和變換

分析：（Ⅰ）設矩陣B=

a b c d

，則由A=PBP^-1，可得AP=PB，利用矩陣乘法，列出方程組，求出a、b、c、d 的值，即可求出矩陣B；
（Ⅱ）首先根據矩陣的乘法，求出B²，然后再和矩陣B相乘，求出B³即可．

解答： 解：（Ⅰ）設矩陣B=

a b c d

，則由A=PBP^-1，可得AP=PB，
即

5 3 -2 0

-1 3 1 -2

=

-1 3 1 -2

a b c d

，
整理得

-a+3c=-2 -b+3d=9 a-2c=2 b-2d=-6

，
解得a=2，b=0，c=0，d=3，
即B=

2 0 0 3

；      
（Ⅱ）由（1）知B2=

2 0 0 3

 

2 0 0 3

=

4 0 0 9

，
所以B3=B2B=

4 0 0 9

 

2 0 0 3

=

8 0 0 27

．

點評：本題主要考查矩陣的運算等基礎知識，考查學生的運算求解能力，考查化歸與轉化思想的運用，屬于基礎題．