Question

已知不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²對任意t∈R恒成立．
（Ⅰ）求實數m的取值范圍；
（Ⅱ）若（Ⅰ）中實數m的最大值為λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（Ⅰ）由條件利用絕對值三角不等式求得|t+3|-|t-2|的最大值，可得6m-m²≥5，由此求得實數m的取值范圍
（Ⅱ）由題意可得 λ=5，3x+4y+5z=5，再根據（x²+y²+z²）（3²+4²+5²）≥25，求得x²+y²+z²的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|t+3|-|t-2|≤|（t+3）-（t-2）|=5，不等式|t+3|-|t-2|≤6m-m²對任意t∈R恒成立，
可得6m-m²≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即實數m的取值范圍為{m|1≤m≤5}．
（Ⅱ）由題意可得 λ=5，3x+4y+5z=5．
∵（x²+y²+z²）（3²+4²+5²）≥（3x+4y+5z）²=25，當期僅當

x

3

=

y

4

=

z

5

時，等號成立，
即x=

3

10

，y=

2

5

，z=

1

2

 時，取等號．
∴50（x²+y²+z²）≥25，∴x²+y²+z²≥

1

2

，即x²+y²+z²的最小值為

1

2

，

點評：本題主要考查絕對值三角不等式，柯西不等式的應用，屬于基礎題．